|
集合
如上所述，量子系统的状态由希尔伯特空间中的单位向量给出。更一般地说，如果一个人对系统的信息较少，那么他就称之为“集合”，并用密度矩阵来描述它，密度矩阵是一个正半定矩阵，或者当状态空间是无限维且具有迹1时，是一个迹类。同样，根据谱定理，这样的矩阵采用一般形式：
\rho=\sum_i w_i|\alpha_i\rangle\langle\alpha_id|，
其中wi是正值概率（它们的总和为1），向量αi是单位向量，在无限维情况下，我们将在迹范数中取这些状态的闭包。我们可以将ρ解释为表示一个系综，其中wi是状态为
⟩|\alpha_i\rangle。当一个混合态具有秩1时，它就描述了一个“纯系综”。当关于量子系统状态的信息少于总信息时，我们需要密度矩阵来表示状态。
在实验上，混合系综可以实现如下。考虑一个向观察者吐出电子的“黑匣子”装置。电子的希尔伯特空间是相同的。该装置可能产生所有处于相同状态的电子；在这种情况下，观察者接收到的电子就是一个纯系综。然而，该装置可以产生不同状态的电子。例如，它可以产生两个电子群：一个带有状态
|
�
+
⟩|\mathbf｛z｝+\排列的自旋与正z方向对齐，另一个与状态对齐
|
�
−
⟩|\mathbf｛y｝-\自旋沿负y方向排列。通常，这是一个混合集合，因为可以有任意数量的种群，每个种群对应不同的状态。
根据上面的定义，对于二分复合系统，混合态只是HA⊗HB上的密度矩阵。也就是说，它具有一般形式
�
=
∑
�
�
�
[
∑
�
�
¯
�
�
(
|
�
�
�
⟩
⊗
|
�
�
�
⟩
)
]
[
∑
�
�
�
�
(
⟨
�
�
�
|
⊗
⟨
�
�
�
|
)
]
｛\displaystyle\rho=\sum_{i}w_{i}\left[\sum_{j}｛\bar｛c}｝_{ij}（|\alpha_{ij｝\rangle\otimes|\beta_{ij}\rangle）\right]\left[\sum_｛k｝c_{ik｝（\langle\alpha_{ik}|\otimes\langle\beta_｛ik｝|）\right｝
其中wi是正值概率，
∑
�
|
�
�
�
|
2.
=
1.
｛\textstyle\sum_｛j｝|c｛ij｝|^｛2｝＝1｝，并且向量是单位向量。这是自伴和正的，有迹1。
从纯情况扩展可分性的定义，我们说混合状态是可分离的，如果它可以写成[61]： 131–132
�
=
∑
�
�
�
�
�
�
⊗
�
�
�
,
\rho=\sum_{i}w_{i}\rho_{i｝^｛A｝\otimes\rho_{i}^｛B｝，
其中wi是正值概率
�
�
�
\rho_i^A和
�
�
�
\rho_i^B本身分别是子系统A和B上的混合态（密度算子）。换句话说，如果状态是不相关状态或乘积状态的概率分布，则状态是可分离的。通过将密度矩阵写成纯集合的和并进行扩展，我们可以不失一般性地假设：
�
�
�
\rho_i^A和
�
�
�
\rho_i^B本身就是纯粹的合奏。如果一个状态不可分离，那么它就被称为纠缠态。
通常，发现混合态是否纠缠被认为是困难的。一般的二分情况已经证明是NP困难的。[62]对于2×2和2×3情况，著名的正偏转置（PPT）条件给出了可分性的一个充分必要的标准。[63]
约化密度矩阵
保罗·狄拉克（Paul Dirac）在1930年提出了简化密度矩阵的概念。[64]考虑上述系统a和B，每个系统都具有希尔伯特空间HA，HB。让复合系统的状态为
|
Ψ
⟩
∈
�
�
⊗
�
�
.
|\H_A\otimes H_B中的Psi\rangle\。
如上所述，通常没有办法将纯状态与成分系统a相关联。然而，仍然可以将密度矩阵相关联。允许
�
�
=
|
Ψ
⟩
⟨
Ψ
|
\rho_T=|\Psi\rangle\；\语言\Psi|。
其是该状态上的投影算子。A的状态是ρT在系统B的基础上的部分轨迹：
�
�
=
d
e
f
Tr公司
�
�
�
.
｛\displaystyle\rho｛A｝｛\stackrel｛\mathrm｛def｝｝｛=｝｝｝\\sum｛j｝^｛N_｛B｝\left（I_｛A｛\otimes\langle j | _｛B｛\right）\left（|\Psi\langle\langle\Psi|\right）\left（I_ A｝\otimes|j\langle\B｝\ right）=｛\hbox｛Tr｝；\ρ{T}。}
总和发生在
�
�
:=
暗淡的
(
�
�
)
｛\displaystyleN_｛B｝：=\dim（H_｛B｝）｝和
�
�
I_｛A｝中的标识运算符
�
�
H_A。ρA有时被称为子系统A上ρ的约化密度矩阵。通俗地说，我们“追踪”系统B以获得A上的约化密度阵。
例如，纠缠态A的约化密度矩阵
\tfrac｛1｝｛\sqrt｛2｝｝\左（|0\rangle_A\otimes |1\rangle_B-|1\ranGL_A\otimes|0\ranGL_B\右），
上面讨论的是中的标识运算符
�
�
H_A。ρA有时被称为子系统A上ρ的约化密度矩阵。通俗地说，我们“追踪”系统B以获得A上的约化密度阵。
例如，纠缠态A的约化密度矩阵
1.
2.
(
|
0
⟩
�
⊗
|
1.
⟩
�
−
|
1.
⟩
�
⊗
|
0
⟩
�
)
,
\tfrac｛1｝｛\sqrt｛2｝｝\左（|0\rangle_A\otimes |1\rangle_B-|1\ranGL_A\otimes|0\ranGL_B\右），
上面讨论的是
�
�
=
1.
2.
(
|
0
⟩
�
⟨
0
|
�
+
|
1.
⟩
�
⟨
1.
|
�
)
\rho_A=\trac｛1｝｛2｝\左（|0\rangle_A\langle 0|_A+|1\langle_A\langle1|_A\右）
这表明，正如预期的那样，纠缠纯系综的约化密度矩阵是一个混合系综。同样不奇怪的是，对于纯产品状态，A的密度矩阵
|
�
⟩
�
⊗
|
�
⟩
�
|\上述psi\rangle_A\otimes |\phi\rangle_B为
�
�
=
|
�
⟩
�
⟨
�
|
�
｛\displaystyle\rho _｛A｝=|\psi\rangle _｛A｝\langle\psi | _｛A｝｝。
一般来说，二分纯态ρ是纠缠的，当且仅当其约化态是混合态而非纯态。
使用它们的两个应用程序
在具有唯一基态的不同自旋链中，显式地计算了约化密度矩阵。一个例子是一维AKLT自旋链：[65]基态可以分为一个块和一个环境。块的约化密度矩阵与另一个哈密顿量的退化基态成正比。
还评估了XY自旋链的降低密度矩阵，其中它具有全秩。已经证明，在热力学极限下，在这种情况下，大块自旋的约化密度矩阵的谱是一个精确的几何序列[66]。
纠缠是一种资源
在量子信息理论中，纠缠态被认为是一种“资源”，即生产成本高昂的东西，可以实现有价值的转换。[67][68]这种观点最明显的背景是“遥远的实验室”，即两个标记为“A”和“B”的量子系统，每个量子系统上都可以执行任意的量子操作，但彼此之间不存在量子机械相互作用。唯一允许的交互作用是经典信息的交换，这与最一般的局域量子操作结合，产生了一类称为LOCC（局域操作和经典通信）的操作。这些操作不允许在系统A和B之间产生纠缠态。但是如果A和B提供了纠缠态的供应，那么这些操作与LOCC操作一起可以实现更大类的转换。例如，a的量子比特和B的量子比特之间的相互作用可以通过以下方式实现：首先将a的量子位元传送到B，然后让它与B的量子位元相互作用（这现在是LOCC操作，因为两个量子位元都在B的实验室中），然后将量子位元传送回a。在这个过程中，两个量子比特的两个最大纠缠态被用完。因此，纠缠态是一种资源，能够在只有LOCC可用的环境中实现量子相互作用（或量子信道），但它们在过程中被消耗。在其他应用中，纠缠可以被视为一种资源，例如，私人通信或区分量子态。[69]
纠缠的分类
并非所有的量子态都具有同等的资源价值。为了量化这个值，可以使用不同的纠缠度量（见下文），为每个量子态分配一个数值。然而，选择一种更粗略的方法来比较量子态通常很有趣。这导致了不同的分类方案。大多数纠缠类是基于状态是否可以使用LOCC或这些操作的子类转换为其他状态来定义的。允许的操作集越小，分类就越精细。重要的例子有：
如果两个状态可以通过局部酉运算相互转换，则称它们在同一LU类中。这是通常认为最好的课程。同一LU类中的两个状态具有相同的纠缠度量值，并且与远程实验室设置中的资源具有相同的值。有无限数量的不同LU类（即使在两个量子比特处于纯状态的最简单情况下也是如此）。[70][71]
如果两个状态可以通过局部操作（包括概率大于0的测量）相互转换，则称它们属于相同的“SLOCC类”（“随机LOCC”）。定性地说，有两种状态
�
1.
\ρ{1}和
�
2.
\同一个SLOCC类中的rho{2}同样强大（因为我可以将一个转换为另一个，然后做它允许我做的任何事情），但是由于转换
�
1.
→
�
2.
｛\displaystyle\rho｛1｝\到\rho｝｛2｝｝和
�
2.
→
�
1.
｛\displaystyle\rho｛2｝\ to \rho｝｛1｝｝可能以不同的概率成功，它们不再具有同等的价值。E、对于两个纯量子比特，只有两个SLOCC类：纠缠态（包含（最大纠缠）贝尔态和弱纠缠态，如
|
00
⟩
+
0.01
|
11
⟩｛\displaystyle|00\rangle+0.01|11\rangle｝）和可分离的状态（即产品状态，如
|
00
⟩|00\rangle）。[72][73]
而不是考虑状态的单个副本的转换（如
�
1.
→
�
2.
｛\displaystyle\rho｛1｝\ to \rho｝｛2｝｝）可以基于多副本转换的可能性来定义类。E、 例如，当
�
1.
→
�
2.
｛\displaystyle\rho｛1｝\到\rho｝｛2｝｝是不可能的，但是
�
1.
⊗
�
1.
→
�
2.
｛\displaystyle\rho｛1｝\otimes\rho｝｛1｛\to \rho｛2｝｝是可能的。一个非常重要（而且非常粗略）的分类是基于是否可以转换任意数量的状态副本的性质
�\ρ转变成至少一个纯纠缠态。具有这种性质的状态称为可蒸馏状态。这些态是最有用的量子态，因为如果有足够多的量子态的话，它们可以（通过局部操作）转换成任何纠缠态，从而允许所有可能的用途。最初令人惊讶的是，并非所有纠缠态都是可蒸馏的，那些不可蒸馏的被称为“束缚纠缠态”。[74][69]
一种不同的纠缠分类是基于一个状态中存在的量子关联允许A和B做什么：一种是区分纠缠态的三个子集：（1）非局域状态，其产生的关联无法用局域隐藏变量模型解释，因此违反了贝尔不等式，（2）包含足够相关性的可操纵状态，以便A通过局部测量来修改（“操纵”）B的条件约化状态，从而A可以向B证明它们所拥有的状态确实是纠缠的，最后（3）那些既不是非局部也不是可操纵的纠缠态。所有三个集合都是非空的。[75]
熵
在本节中，将讨论混合态的熵，以及如何将其视为量子纠缠的度量。
释义
二分二能级纯态的冯·诺伊曼熵与本征值的关系图。当特征值为.5时，冯·诺依曼熵处于最大值，对应于最大纠缠。
在经典信息理论H中，香农熵与概率分布相关，
�
1.
,
⋯
,
�
�
p_1，\cdots，p_n，以如下方式：[76]
�
(
�
1.
,
⋯
,
�
�
)
=
−
∑
�
�
�
日志
2.
�
�
.
H（p_1，\cdots，p_n）=-\sum_i p_i\log_2 p_i。
由于混合态ρ是系综上的概率分布，这自然导致了冯·诺伊曼熵的定义：
�
(
�
)
=
−
Tr公司
(
�
日志
2.
�
)
.
S（\rho）=-\hbox｛Tr｝\左（\rho\log_2｛\rho｝\右）。
通常，人们使用Borel函数演算来计算非多项式函数，如log2（ρ）。如果非负算子ρ作用于有限维希尔伯特空间并具有特征值
�
1.
,
⋯
,
�
�
\lambda_1，\cdots，\lambda_n，log2（ρ）只不过是具有相同特征向量的算子，但特征值
日志
2.
(
�
1.
)
,
⋯
,
日志
2.
(
�
�
)
\log｛2｝（\lambda｛1｝）、\cdots、\log｛2｛（\lambda｛n｝）。香农熵为：
�
(
�
)
=
−
Tr公司
(
�
日志
2.
�
)
=
−
∑
�
�
�
日志
2.
�
�
S（\rho）=-\hbox｛Tr｝\left（\rho\log_2｛\rho｝\right）=-\\sum_i\lambda_i\log_2\lambda_id。
由于概率为0的事件不应该对熵有贡献
极限
�
→
0
�
日志
�
=
0
,
\lim_{p\至0}p\log p=0，
采用惯例0log（0）＝0。这也扩展到无限维情况：如果ρ具有光谱分辨率
�
=
∫
�
�
�
�
,
\ρ=\int\lambda d P_｛\lambda｝，
计算时采用相同的惯例
�
日志
2.
�
=
∫
�
日志
2.
�
�
�
�
.
\rho\log_2\rho=\int\lambda\log_2\lambda d P_｛\lambda｝。
与统计力学一样，系统应该具有的不确定性（微观状态的数量）越多，熵就越大。例如，任何纯态的熵都是零，这并不奇怪，因为在纯态中系统没有不确定性。上面讨论的纠缠态的两个子系统中的任何一个子系统的熵是log（2）（可以显示为2×2混合态的最大熵）。
作为纠缠的量度
熵提供了一种可以用来量化纠缠的工具，尽管存在其他纠缠度量。[77][78]如果整个系统是纯的，一个子系统的熵可以用来测量它与其他子系统的纠缠程度。对于二分纯态，约化态的冯·诺伊曼熵是纠缠的唯一度量，因为它是满足纠缠度量所需的某些公理的状态族上的唯一函数。[79]
经典的结果是，香农熵在均匀概率分布{1/n，…，1/n}处达到最大值 |
